Глава 1. Аксиоматика плоскости Лобачевского.

Планиметрия Лобачевского строится на аксиоматике евклидовой геометрии с заменой аксиомы параллельности на аксиому Лобачевского: пусть a – произвольная прямая, а A – точка, не лежащая на этой прямой; тогда существует не менее двух прямых, проходящих через точку A и не пересекающих прямую a.

В литературе, посвященной построению моделей геометрии Лобачевского, авторы применяют различные системы аксиом. Так, в книге Н.В.Ефимова “Высшая геометрия” для этой цели привлечена аксиоматика Д.Гильберта. В данной работе рассмотрена систему аксиом для плоскости Лобачевского, используя аксиоматику евклидовой геометрии, предложенную А.В.Погореловым.

Основными объектами являются точки и прямые; также используется при этом множество действительных чисел.

Множество всех точек обозначим через H2, оно называется плоскостью, множество всех прямых обозначим буквой F, а R – поле действительных чисел. Полагаем, что H2 и F – непустые множества.

Множество H2 называется плоскостью Лобачевского, если указанные ниже основные отношения а – г подчиняются требованиям приведенных далее аксиом I – VI групп.

Основными отношениями являются следующие четыре отношения:

а) принадлежность точки и прямой;

б) лежать между для трех точек одной прямой;

в) длина отрезка;

г) мера (градусная) угла.

Рассматриваемая система аксиом состоит из девяти аксиом, разбитых на шесть групп.

I. Аксиомы принадлежности

I1. Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти точки, и притом только одна.

I2. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой

II. Аксиомы порядка

II1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

На основе этой аксиомы вводится понятие отрезка. Отрезком AB называется множество всех точек прямой, лежащих между точками A и B.

II2. Прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества (полуплоскости) так, что отрезок, соединяющий точки одной полуплоскости, не пересекается с прямой, а отрезок, соединяющий точки разных полуплоскостей, пересекается с прямой.

После этого вводятся понятия луча и треугольника. Лучом AB с началом A называется множество точек, состоящее из точки B и всех точек M прямой AB, таких, что точка A не лежит между точками B и M.

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

III. Аксиомы меры для отрезков и углов

Обозначим через L – множество всех отрезков, а через R+ – множество всех положительных действительных чисел.

III1. Если выбран некоторый отрезок PQ, то существует отображение l: L® R+ такое, что выполняются два условия:

а) если точка C лежит между точками A и B, то l(AC)+l(CB)=l(AB);
б)l(PQ)=1.

Если l': L® R+ - отображение при другом выборе отрезка P'Q', то из равенства l(AB)=l(CD) следует равенство l(AB)=l(CD).

Число l(AB) называется длиной отрезка AB, а отрезок PQ - единичным отрезком.

Для введения следующей аксиомы определим понятие угла. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом. Угол называется развернутым, если эти лучи лежат на одной прямой. Лучи, образующие угол, называются его сторонами, а общее начало сторон угла называется вершиной этого угла. Говорят, что данный луч проходит между сторонами неразвернутого угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой–нибудь отрезок с концами на сторонах угла. В случае развернутого угла считается, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Обозначим через W множество всех углов.

III2. Существует отображение ф: W --> R+ такое, что выполняются два условия:
а) если луч r проходит между сторонами угла pq, то
ф(pr)+ф(rq)=ф(pq);
б)если pq - развернутый угол, то ф(pq)=180.

Число ф(pq) называется градусной мерой угла pq.

 

 

IV. Аксиома существования треугольника, равного данному.

Два отрезка называются равными, если при любом выборе единичного отрезка их длины равны. Два угла называются равными, если они имеют одну и ту же градусную меру. Треугольники ABC и A1B1C1 называются равными, если выполняются равенства:

IV. Пусть ABC – треугольник и p – луч. Тогда существует треугольник A1B1C1, равный треугольнику ABC, у которого вершина A1 совпадает с началом луча p, вершина B1 лежит на луче p, а вершина C1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч p.

V. Аксиома существования отрезка данной длины

V. Если выбран единичный отрезок, то, каково бы ни было положительное действительное число t, существует отрезок длиной t.

VI. Аксиома параллельности Лобачевского

Сформулируем аксиому параллельности Лобачевского, введенную им в варианте, приемлемом как для случая плоскости, так и для случая пространства.

VI. Пусть a – произвольная прямая, а A – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, существует не менее двух прямых, проходящих через точку A и не пересекающих прямую

Что такое модель?

Заменив аксиому параллельности евклидовой геометрии данным ниже утверждением, Н.И.Лобачевский развил последовательность выводов, представляющих новую, как он ее именовал, воображаемую геометрию. Факты этой геометрии имели отвлеченный характер, поскольку не было найдено предмета – модели, где бы эта геометрия выполнялась. Модели для геометрии Лобачевского были найдены позже, да и понятие модели или интерпретации системы аксиом сформировалось в математике лишь во второй половине XIX века. Что же понимают в математике под моделью системы аксиом?

Моделью, или интерпретацией, данной системы аксиом называют совокупность множеств конкретной природы с таким истолкованием основных отношений, связывающих элементы этих множеств, что оказываются выполненными требования всех аксиом данной аксиоматики.

Назад Вперед