Простейшие геометрические образы в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского.
В предыдущей главе наряду с основными объектами модели Пуанкаре плоскости Лобачевского были представлены неевклидовы отрезки, лучи, углы, треугольники, рассмотрели, как изображаются параллельные прямые, было также указано, в частности, построение неевклидова серединного перпендикуляра данного отрезка. В этой главе будут рассмотрены
другие геометрические образы в данной модели, их построение позволяет глубже уяснить смысл ряда фактов и неевклидовой, и евклидовой геометрий.1. Общий перпендикуляр двух расходящихся прямых
Любые две расходящиеся прямые
a и b плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр и притом единственный. Для изображения самих расходящихся прямых a и b в модели Пуанкаре H2 возможны два случая:а) одна из таких прямых изображается евклидовым лучом в
H2;В случае а) общим перпендикуляром двух расходящихся прямых a и b является, очевидно, полуокружность c, построение которой ясно из рис 6.
рис.6
Перейдем к построению в случае б). Обозначим через
B1, B2 - концы полуокружности b и рассмотрим полуокружность d с центром B1 и ортогональную к a.(рис.7)
рис.7
Под действием инверсии f относительно d полуокружность a переходит в себя, а полуокружность b - в луч b', ортогональный оси x, с началом в точке B'2, где B'2=f(B2). Используя случай а), строим полуокружность c' с центром в B'2, ортогональную к a и b'. Тогда полуокружность c=f(c') является, очевидно, искомым общим неевклидовым перпендикуляром к расходящимся прямым a и b.
