Интерпретация Пуанкаре получается из интерпретации Кэли-Клейна следующим образом. Круг x²+y²<1 проектируется на полусферу х²+у²+z²=1, z>0, а полусфера—из полюса (1,0,0) на плоскость уz (стереографическая проекция). В первом проектировании хорды круга перейдут в полуокружности на сфере, перпендикулярные экватору z=0. А при втором проектировании эти полуокружности перейдут в полуокружности или полупрямые полуплоскости уz, z>0, перпендикулярные оси у (при стереографическом проектировании углы сохраняются и окружности переходят в окружности или прямые).

Таким образом, в интерпретации Пуанкаре прямые Лобачевского изображаются полуокружностями и полупрямыми полуплоскости уz, z>0, перпендикулярными оси у. Движениям в плоскости Лобачевского соответствуют преобразования полуплоскости z > 0 в себя, переводящие полуокружности и полупрямые, перпендикулярные оси у, в полуокружности и полупрямые.