на евклидовой полуплоскости.
В этой главе описывается построение модели плоскости Лобачевского, предложенной в 1882 г. великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854-1912), профессором Сорбонны с 1881 г. Построение модели осуществляется на основе аксиоматики, изложенной в предыдущей главе. В заключение главы дается обобщение планиметрической модели Пуанкаре на случай пространства Лобачевского любого числа измерений.
2.1. Выбор основных объектов
Рассмотрим евклидову плоскость E2 с декартовыми координатами Oxy. В качестве плоскости Лобачевского возьмем полуплоскость в E2, заданную неравенством y > 0, обозначим ее через H2. В качестве множества прямых F примем содержащиеся в H2 полуокружности с центрами на оси x и лучи, ортогональные x с началом на этой оси. Элементы из F будем именовать неевклидовыми прямыми или просто прямыми. R - поле действительных чисел.
В дальнейшем будет часто использоваться в ходе построений евклидовы прямые, отрезки и другие фигуры, такие случаи всякий раз будут точно указываться словами "евклидова прямая", "евклидов отрезок" и т.д.
Основные отношения между объектами мы будем устанавливать одно за другим, по мере того, как они потребуются при последовательном рассмотрении аксиом.