4. 5. Распространение тех же идей на трехмерное пространство.

Совершенно аналогично тому, как в плоскости существует ¥ ³ действительных проективных преобразований, оставляющих инвариантным заданное коническое сечение, в трехмерном евклидовом пространстве существует ¥ ⁶ таких проективных преобразований, которые оставляют инвариантной заданную овальную (невырожденную и нелинейчатую) поверхность второго порядка; при этих преобразованиях остается инвариантной и область, лежащая внутри этой поверхности (т. е. совокупность тех точек пространства, из которых нельзя провести к поверхности действительных касательных). Принимая эту область за субстрат геометрии, а преобразования, оставляющие эту поверхность (абсолют) инвариантной, за движения и отражения, строим отображение (модель), точно воспроизводящее внутри абсолюта гиперболическую геометрию трехмерного пространства. Прямыми в этой интерпретации служат хорды этой поверхности. Прямая, соединяющая две “точки этого пространства”, пересекает абсолют еще в двух точках; получается четверка точек, надлежащим двойным отношением которых определяется расстояние между этими точками; соответствующими инвариантами движений определяются и другие метрические величины этой геометрии. Все выполняется совершенно аналогично тому, как это делается в плоской интерпретации Клейна.

Теперь уже не могло оставаться существенных сомнений в логической правильности построенной П. И, Лобачевским геометрии гиперболического пространства. Во всяком случае, по степени обоснованности новая система не уступала евклидовой геометрии. В силе могли оставаться лишь те возражения, которые в такой же мере относились и к евклидовой геометрии: не были еще с достаточной ясностью выявлены посылки, на которых может быть строго логически построена абсолютная геометрия, а вместе с ней и евклидова и гиперболическая. Иными словами, после работ Клейна вопрос стоял уже не столько о логической правильности гиперболический геометрии, сколько о точной формулировке тех посылок, на которых основана абсолютная геометрия. Во всей остроте встал вопрос и строгом обосновании геометрии—вопрос, который оставался неразрешенным в точении свыше двух тысячелетий; но только теперь работами Лобачевского и его последователей была действительно подготовлена почва для его решения. Однако, прежде чем перейти к этим новым методам геометрии, нужно еще остановиться на том развитии, которое в ближайшие годы получили идеи Лобачевского и методы интерпретации созданной им геометрии.