4.4. Выражение расстояния между двумя точками в модели Кэли-Клейна при любом овальном абсолюте.

(1)

К функции Ф (х, у, z) присоединим множитель +1 или — 1 так, чтобы для внутренних точек этого конического сечения было Ф (x, у, г) > 0. Если M₁(x₁, y₁,z₁) и М₂(x₂,,y₂,,z₂) две точки внутри абсолюта, то прямую, через них проходящую, можно выразить уравнениями:

(2)

Чтобы разыскать точки, в которых прямая (2) пересекает коническое сечение (1), подставляем выражения (2) в уравнение (1).

(3)

где Ф₁₁ и Ф₂₂ суть значения формы Ф в точках x₁, y₁, z₁ и x₂,,y₂,,z₂ а Ф₁₂ есть значение соответствующей билинейной формы:

(4)

Уравнение (3) дает два значения отношения :

Для двойного отношения пары точек M₁ , М₂ и пары точек пересечения , соответствующих найденным для значениям (точное, для того двойного отношения, которое больше 1), получим :

(или )= (5)

(6)

Поскольку прямая, проходящая через две внутренние точки конического сечения, пересекает его в двух действительных точках, всегда будет .

Изложенные соображения могут быть выражены следующей общей теоремой: Какова бы ни была в евклидовой плоскости овальная кривая второго порядка, внутри нее можно построить клейнову интерпретацию гиперболической плоскости; движениями в этой интерпретации служат проективные преобразования, оставляющие это коническое сечение (абсолют) инвариантным (преобразующие его в самого себя). Метрическими величинами служат численные инварианты этих преобразований. Абсолют можно рассматривать как совокупность бесконечно удаленных точек гиперболической плоскости.