Для рассмотрения аксиомы IV нам потребуется построение неевклидова серединного перпендикуляра неевклидова отрезка. Пусть MN – некоторый отрезок в H², для его расположения возможны следующие случаи:

а) евклидова прямая MN параллельна оси x;

б) евклидова прямая MN пересекает ось x под некоторым углом;

в) евклидова прямая MN перпендикулярна оси x.

Рассмотрим подробно случай б). Обозначим через K точку пересечения оси x с евклидовой прямой MN, а через T – точку касания евклидовой прямой, проходящей через K, с неевклидовой прямой MN (см. рисунок ниже).

Евклидова полуокружность a с центром K и радиусом KT является искомым перпендикуляром. Действительно, по теореме элементарной геометрии о произведении отрезков секущих к окружности имеем: KM * KN = KT². Но по отношению к полуокружности a приведенное равенство означает, что точки M и N взаимно инверсны относительно a. Более того, инверсия относительно a переводит неевклидову прямую MN в себя, следовательно, неевклидовы отрезки TM и TN взаимно инверсны относительно a, то есть они являются равными. А поскольку неевклидова прямая MN перпендикулярна a, то a – искомый серединный перпендикуляр для MN.(см. рисунок ниже).