Пусть ABC – неевклидов треугольник в H², p – луч с началом в A' и a заданная полуплоскость, ограниченная неевклидовой прямой, содержащей p (рис.4).

Построим серединный неевклидов перпендикуляр a неевклидова отрезка AA'. Отражение относительно a переводит треугольник ABC в треугольник A'B₁C₁. Пусть b – неевклидова биссектриса угла со сторонами p и A'B₁, тогда отражение H² относительно b переведет треугольник A'B₁C₁ в треугольник A'B'C₂, где B' лежит на луче p. Если точка C₂ лежит в заданной полуплоскости a то построение закончено. В противном случае рассмотрим отражение H² относительно неевклидовой прямой, содержащей луч p. В результате получаем треугольник A'B'C', удовлетворяющий требованиям аксиомы IV. Действительно, A' – начало луча p, B' лежит на p, а C' принадлежит полуплоскости a . Поскольку неевклидов треугольник A'B'C' получен из треугольника ABC с помощью композиции отражений, то есть с помощью неевклидова движения, то треугольники ABC и A'B'C' равны. Таким образом, требования аксиомы IV в H² выполнены.