Глава
4. Модель Кэли-Клейна.В
1871 г. немецким математиком Феликсом Клейном (1849-1925) была построена модель плоскости Лобачевского с помощью проективной метрики, открытой английским математиком Артуром Кэли (1821-1895), эта модель называется моделью Кэли-Клейна плоскости Лобачевского.4
.1. Проективное мероопределение Кэли.Общий вывод рассуждении рассуждений Кэли заключается в том, что на прямой возможно троякое мероопределение: эллиптическое, гиперболическое или параболическое; в этом смысле говорят об эллиптической, гиперболической или параболической прямой. На гиперболической или параболической прямой расстояние между двумя точками определено однозначно и может быть сколь угодно велико (“прямая имеет бесконечное протяжение”); на эллиптической прямой расстояние определено двузначно и в надлежащих единицах во всяком случае не превышает p (“прямая конечна”).
Троякое мероопределение на прямой (троякая геометрия прямой), вытекающее из замысла Кэли, обусловливается тем, что вещественном линейным преобразованием бинарная квадратичная форма приводится к одному из трех канонических видов: х
2 + у2 (мнимый абсолют и эллиптическая геометрия), x2-у2 (действительный абсолют и гиперболическая геометрия) и x2 (абсолют, состоящий из двух совпадающих точек).Все исследование Кэли, как сказано выше, имеет основной целью разыскание тех геометрических величин и соотношений, которые остаются инвариантными при линейных, однородных преобразованиях переменных. Так как этими переменными, в изложенных рассуждениях служат однородные координаты точек прямой, то линейные их преобразования выражают проективные преобразования прямой. Однако метрика - расстояния точек- зависит от выбора абсолюта; поэтому, чтобы она оставалась инвариантной, нужно ограничиться теми линейными преобразованиями, которые оставляют абсолют инвариантным. Проективное преобразование на прямой определяется соответствием трех пар точек. Поэтому, если ограничиться теми преобразованиями, которые оставляют абсолют инвариантным, т. е. относят каждую из точек абсолюта самой себе или замещают их одну другой, то эти преобразования, очевидно, составляют одночленную группу и играют в соответствующей геометрии роль движений. Расстояния, определенные формулой
cosq =J, 0£ q £ p и ее модификациями, остаются при этих преобразованиях инвариантными, так как форма W (х, у) остается неизменной (или приобретает постоянный множитель). Эти расстояния как в эллиптической, так и в гиперболической метрике выражаются через ангармоническое отношение, которое две данные точки образуют с абсолютом. Эллиптическую и гиперболическую метрику, основанную на замысле Кэли, часто называют (Клейн) проективной; не без оговорок это название можно отнести и к параболической метрике.Подводя итоги, нужно сказать, что Кэли показал возможность обобщения понятия о расстоянии между точками и об угле между пересекающимися прямыми. Не может подлежать никакому сомнению, что все построения Клейна, по существу, уже содержатся в этой замечательной работе Кэли. Но не подлежит также сомнению, что выводы Кэли далеко не достаточно уточнены; главный дефект заключается в том, что не разобраны случаи, когда основное соотношение
дает для расстояния действительное или мнимое значение, а также когда по этой схеме действительное или мнимое значение получает угол между пересекающимися прямыми. Между тем этот вопрос имеет основное значение, и его анализ приводит к различным системам геометрии.
