4.3. Замена кругового абсолюта другим овальным коническим сечением.

Как известно, каково бы ни было овальное коническое сечение Е, существует проективное преобразование Т, которое преобразует круг К единичного радиуса в коническое сечение Е (окружность и внутренние точки круга в периферию и соответственно во внутренние точки кривой Е). Если S есть любое проективное преобразование, оставляющее круг инвариантным, т. е. входящее в состав группы Кэли — Клейна, то преобразование S' =ТSТ^-1, как легко видеть, оставляет инвариантным коническое сечение Е. Совершенно ясно, что можно построить геометрию, аналогичную геометрии Л², принимая за субстрат часть евклидовой плоскости, расположенную внутри кривой Е, а за движения и отражения - преобразования группы, оставляющие инвариантной эту кривую. По существу, построенная таким образом геометрия не отличается от Л², она ей изоморфна — роль абсолюта играет не окружность, а коническое сечение Е; формулы носят более общий характер.