Если сопоставить точке плоскости Лобачевского с координатами х, у точку евклидовой плоскости с теми же декартовыми координатами, то речь идет о преобразованиях круга х²+у²<1 в себя, при которых прямые переходят в прямые. Известно, что все такие преобразования являются проективными. Но всякое ли такое преобразование является движением?

Пусть S - какое-нибудь проективное преобразование, переводящее круг х²+у²<1 в себя. Оно переводит точку (0,0) в некоторую точку А, полупрямую х>0, у=0 - в полупрямую а и полуплоскость у>0 - в некоторую полуплоскость a . По аксиоме III₇ существует движение, т. е. проективное преобразование, обладающее указанными свойствами S. А как показано при построении модели Кэли-Клейна (см. 5.6), единственно. Отсюда следует, что S - движение.

Так как при введении координат х, у мы не конкретизировали модель геометрии Лобачевского, то вышеизложенное позволяет заключить, что каждая модель геометрии Лобачевского изоморфна модели Кэли Клейна [16]. .Так как две модели, изоморфные третьей, изоморфны друг другу, то мы доказали, таким образом, следующую теорему.